Теорема о душе утверждает: Всякое (M, g) имеет душу S. Более того: многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению S. Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны. Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году, построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-Липшицев деформационный ретракт (M,g)\to S Ретракция Шарафутдинова (M,g)\to S является римановой субмерсией. В частности если (M,g) имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству. Гипотеза о двойной душе утверждает, что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.